19. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με την βοήθεια εξισώσεων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με την βοήθεια εξισώσεων

1.1 Θεωρία και Μεθοδολογία

Ορισμοί και Έννοιες:

  • Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος), η οποία αληθεύει μόνο για μια συγκεκριμένη τιμή του γράμματος.

  • Άγνωστος είναι το γράμμα (συνήθως \(x, y, \omega\)) που αντιπροσωπεύει την τιμή που ψάχνουμε.

  • Λύση ή ρίζα είναι ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.

  • Επίλυση ονομάζεται η διαδικασία εύρεσης της λύσης της εξίσωσης.

Βήματα για την Επίλυση Προβλημάτων:

  1. Προσδιορισμός αγνώστου: Επιλέγουμε το ζητούμενο στοιχείο και το συμβολίζουμε με ένα γράμμα.

  2. Κατάστρωση εξίσωσης: Εκφράζουμε τα δεδομένα του προβλήματος σε σχέση με τον άγνωστο, δημιουργώντας μια ισότητα.

  3. Επίλυση: Βρίσκουμε την τιμή του αγνώστου χρησιμοποιώντας τους ορισμούς των πράξεων.

  4. Επαλήθευση: Ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

1.2 Μορφή \(\alpha + x = \beta\) (ή \(x + \alpha = \beta\))

Κανόνας:

Ο άγνωστος προσθετέος ισούται με τη διαφορά του γνωστού προσθετέου από το άθροισμα: \(x = \beta - \alpha\).

1.2.1 Παραδείγματα

  1. Δύο παιδιά έχουν μαζί 10 γραμματόσημα. Αν το ένα έχει 3, πόσα έχει το άλλο; (\(3+x=10 \Rightarrow x=....\)).

  2. Ένας μαθητής είχε κάποια χρήματα και ο πατέρας του τού έδωσε 135 € Αν τώρα έχει 250 €, πόσα είχε αρχικά; (\(x+135=250 \Rightarrow x=....\)).

  3. Σε έναν αριθμό προσθέτουμε 5 και βρίσκουμε 8. Ποιος είναι ο αριθμός; (\(x+5=8 \Rightarrow x=....\)).

  4. Ένας γεωργός αγόρασε σπίτι και κήπο μαζί για 77.500€. Αν ο κήπος κόστισε 12.500€, πόσο κόστισε το σπίτι; (\(x+12.500=77.500 \Rightarrow x=....\)).

  5. Στην πρόσθεση \(AB + 47 = 73\), ποιος είναι ο διψήφιος αριθμός \(AB\); (\(x+47=73 \Rightarrow x=73-47=26\)).

1.2.2 Προβλήματα προς Λύση

  1. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 18 για να βρούμε 30;.

  2. Το άθροισμα δύο διαδοχικών αριθμών είναι 15. Αν ο ένας είναι ο 7, ποιος είναι ο \(x\);.

  3. Ένας έμπορος είχε εισπράξεις 3.827€ και μετά από μια πώληση το ταμείο του έφτασε τα 4.827€. Πόσα εισέπραξε;.

  4. Αν στο βάρος ενός δέματος προσθέσουμε 135 kg και γίνει 250 kg, πόσο ζυγίζει το δέμα;.

  5. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο 25 για να γίνει 30;.

  6. Ένας αριθμός \(x\) αυξήθηκε κατά 4,9 και έγινε 15,83. Ποιος ήταν ο αριθμός;.

  7. Μια γωνία \(x\) μαζί με μια γωνία 35° δίνουν άθροισμα 90°. Πόσο είναι η \(x\);.

  8. Σε έναν αριθμό προσθέτουμε 5 και παίρνουμε 313. Βρείτε τον αριθμό.

  9. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 45. Αν ο ένας είναι 34, ποιος είναι ο άλλος;.

  10. Ένας εργάτης κέρδισε κάποια χρήματα και με ένα επίδομα 1.207€ πήρε συνολικά 3.885€. Ποιος ήταν ο μισθός του;.

1.3 Μορφή \(x - \alpha = \beta\)

Κανόνας:

Ο μειωτέος ισούται με το άθροισμα του αφαιρετέου και της διαφοράς: \(x = \beta + \alpha\).

1.3.1 Παραδείγματα

  1. Ένας μαθητής έδωσε 5 βώλους και του έμειναν 13. Πόσους είχε αρχικά; (\(x-5=13 \Rightarrow x=....\)).

  2. Ένα αυτοκίνητο διέτρεξε μια απόσταση και του μένουν ακόμα 30 km για να φτάσει τα 100 km συνολικά. Πόσα km διέτρεξε; (\(x-70=30 \Rightarrow x=....\)).

  3. Ένας έμπορος πλήρωσε κάποια χρέη και του έμειναν 3.827€. Αν τα έξοδά του ήταν 1.250€, πόσα είχε στην αρχή; (\(x-1.250=3.827 \Rightarrow x=....\)).

  4. Αν από την ηλικία μιας μητέρας αφαιρέσουμε 18 έτη, βρίσκουμε την ηλικία της κόρης της που είναι 25 ετών. Ποια είναι η ηλικία της μητέρας; (\(x-18=25 \Rightarrow x=....\)).

  5. Ένας αριθμός ελαττωμένος κατά 4 ισούται με 1. Ποιος είναι ο αριθμός; (\(x-4=1 \Rightarrow x=4+1=5\)).

1.3.2 Προβλήματα προς Λύση

  1. Αν από έναν αριθμό βώλων αφαιρέσουμε 2, μένουν 4. Πόσοι ήταν αρχικά;.

  2. Ένας βοσκός πούλησε κάποια πρόβατα και του έμειναν 60. Αν πούλησε 40, πόσα είχε;.

  3. Ποιος αριθμός, αν ελαττωθεί κατά 23, δίνει αποτέλεσμα 1;.

  4. Ένας υπάλληλος ξόδεψε 3.600€ και αποταμίευσε 400€. Πόσος ήταν ο μισθός του;.

  5. Ένα διαμέρισμα κοστίζει 15.600€ περισσότερο από ένα χωράφι αξίας 15.000€. Ποια η αξία του;.

  6. Αν από ένα ποσό αφαιρέσουμε 400€ και μείνουν 100€, ποιο ήταν το ποσό;.

  7. Ένας μαθητής έδωσε 167 δρχ. και του έμειναν 1.000 δρχ. Πόσα είχε;.

  8. Ποιος αριθμός ελαττωμένος κατά 2 δίνει 8;.

  9. Αν από μια απόσταση \(x\) αφαιρέσουμε 70 km και μείνουν 30 km, πόση είναι η \(x\);.

  10. Ένας εργάτης πήρε προκαταβολή 180€ και του οφείλονται ακόμα 180€. Ποια ήταν η συνολική αμοιβή;.

1.4 Μορφή \(\alpha - x = \beta\)

Κανόνας:

Ο αφαιρετέος ισούται με τη διαφορά του υπόλοιπου από τον μειωτέο: \(x = \alpha - \beta\).

1.4.1 Παραδείγματα

  1. Ένας μαθητής είχε 20 βώλους και του έμειναν 12. Πόσους έχασε; (\(20-x=12 \Rightarrow x=....\)).

  2. Ένας βοσκός έχει 100 αρνιά. Πόσα πρέπει να πουλήσει για να του μείνουν 60; (\(100-x=60 \Rightarrow x=....\)).

  3. Μια διαδρομή είναι 800 km. Αν τη δεύτερη μέρα πρέπει να διανυθούν 350 km, πόσα km έγιναν την πρώτη; (\(800-x=350 \Rightarrow x=....\)).

  4. Από 25€ δόθηκαν κάποια χρήματα σε έναν φτωχό και έμειναν 20€. Πόσα δόθηκαν; (\(25-x=20 \Rightarrow x=....\)).

  5. Ένας αριθμός 6 ελαττώνεται κατά \(x\) και γίνεται 5. Ποιος είναι ο \(x\); (\(6-x=5 \Rightarrow x=6-5=1\)).

1.4.2 Προβλήματα προς Λύση

  1. Από έναν αριθμό 15 αφαιρούμε τον \(x\) και βρίσκουμε 8. Ποιος είναι ο \(x\);.

  2. Ένας έμπορος πούλησε εμπόρευμα 320€ και είχε κέρδος 80€. Πόσο το είχε αγοράσει; (Αρχική αξία = \(320-x=80\)).

  3. Πόσο πρέπει να ελαττωθεί ο αριθμός 50 για να γίνει 40;.

  4. Ένας αριθμός 18 μειώθηκε κατά \(\omega\) και έγινε 10. Βρείτε τον \(\omega\).

  5. Από 45€ ξοδέψαμε κάποια και έμειναν 42€. Πόσα ξοδέψαμε;.

  6. Ένας πατέρας πέθανε 75 ετών. Αν ο γιος του γεννήθηκε όταν ο πατέρας ήταν 28, πόσο έζησε ο πατέρας μετά τη γέννηση;.

  7. Από μια δεξαμενή 3.000 \(m^3\) καταναλώθηκαν κάποια \(m^3\) και έμειναν 1.000 \(m^3\). Πόσα καταναλώθηκαν;.

  8. Ποιο ψηφίο \(x\) πρέπει να αφαιρεθεί από το 93 για να μείνουν 86;.

  9. Από έναν αριθμό 12 αφαιρούμε τον \(x\) και βρίσκουμε 8. Ποιος είναι ο \(x\);.

  10. Ένας μαθητής είχε 25 δρχ. και μετά από μια αγορά του έμειναν 20 δρχ. Πόσο κόστισε η αγορά;.

1.5 Μορφή \(\alpha \cdot x = \beta\)

Κανόνας:

Ο άγνωστος παράγοντας ισούται με το πηλίκο του γινομένου διά του γνωστού παράγοντα: \(x = \beta : \alpha\).

1.5.1 Παραδείγματα

  1. Ένα λεωφορείο 52 θέσεων έχει σειρές των 4 καθισμάτων. Πόσες σειρές έχει; (\(4x=52 \Rightarrow x=....\)).

  2. Το διπλάσιο ενός αριθμού ισούται με 4. Ποιος είναι ο αριθμός; (\(2x=4 \Rightarrow x=....\)).

  3. Το τριπλάσιο ενός αριθμού είναι 15. Ποιος είναι ο αριθμός; (\(3x=15 \Rightarrow x=....\)).

  4. Ένας εργάτης για 6 ημέρες εργασίας πήρε 762€. Ποιο είναι το ημερομίσθιό του; (\(6x=762 \Rightarrow x=....\)).

  5. Το τετραπλάσιο ενός αριθμού είναι 16. Ποιος είναι ο αριθμός; (\(4x=16 \Rightarrow x=\dfrac{16}{4}=4\)).

1.5.2 Προβλήματα προς Λύση

  1. Αν το τριπλάσιο ενός αριθμού είναι 48, ποιος είναι ο αριθμός;.

  2. Πόσα κιλά λάδι αγοράσαμε με 2.760€, αν το κιλό κοστίζει 7,5€;.

  3. Αν 5 κιλά ζάχαρη κοστίζουν 8,40€, πόσο κοστίζει το ένα κιλό;.

  4. Ένας αριθμός \(x\) πολλαπλασιάστηκε επί 7 και έδωσε 63. Ποιος είναι ο \(x\);.

  5. Αν το πενταπλάσιο ενός αριθμού είναι 30, ποιος είναι ο αριθμός;.

  6. Πόσες σειρές των 8 ατόμων σχηματίζουν 48 μαθητές;.

  7. Αν \(12 \cdot x = 48\), ποια είναι η τιμή του \(x\);.

  8. Το οκταπλάσιο ενός αριθμού είναι 72. Ποιος είναι ο αριθμός;.

  9. Αν 14 κιλά λάδι κόστισαν 122€, πόσο κόστισε το ένα κιλό;.

  10. Πόσες ομάδες των 5 μαθητών γίνονται από 60 μαθητές;.

1.6 Μορφή \(\alpha : x = \beta\)

Κανόνας:

Ο διαιρέτης ισούται με το πηλίκο του διαιρετέου διά του πηλίκου: \(x = \alpha : \beta\).

1.6.1 Παραδείγματα

  1. Θέλουμε να χωρίσουμε 60 m υφάσματος σε κουρτίνες των 4 m. Πόσες κουρτίνες θα γίνουν; (\(60:x=4 \Rightarrow x=....\)).

  2. Αν διαιρέσουμε τον αριθμό 36 με τον \(x\) και βρούμε 3, ποιος είναι ο \(x\); (\(36:x=3 \Rightarrow x=....\)).

  3. Ένας οινοπαραγωγός έχει 77 λίτρα κρασί και θέλει να γεμίσει δοχεία έτσι ώστε το κάθε δοχείο να πάρει 7 λίτρα. Πόσα δοχεία θα χρειαστεί; (\(77:x=7 \Rightarrow x=....\)).

  4. Πόσα μπουκάλια των 0,75 λίτρων θα γεμίσουν με 100 λίτρα ξύδι; (\(100:x=0,75 \Rightarrow x=....\)).

  5. Αν 24 διαιρεθεί με τον \(\psi\) και δώσει 6, ποιος είναι ο \(\psi\); (\(24:\psi=6 \Rightarrow ψ=....\)).

1.6.2 Προβλήματα προς Λύση

  1. Πόσες ώρες χρειάζεται ένας ποδηλάτης για 65 km με ταχύτητα 5 km/h;.

  2. Αν διαιρέσουμε 14 με τον \(x\) και βρούμε 7, ποιος είναι ο \(x\);.

  3. Σε πόσα κομμάτια των 5 m χωρίζεται ένα σχοινί 25 m;.

  4. Αν 45 διαιρεθεί με έναν αριθμό και δώσει 9, ποιος είναι ο αριθμός;.

  5. Πόσες πιατέλες χρειάζονται για 32 γλυκά, αν κάθε πιατέλα χωράει 4;.

  6. Αν διαιρέσουμε 84 με έναν αριθμό και βρούμε 2, ποιος είναι ο αριθμός;.

  7. Πόσα λεωφορεία των 52 θέσεων χρειάζονται για 416 άτομα;.

  8. Αν διαιρέσουμε το 18 με τον \(x\) και βρούμε 9, ποιος είναι ο \(x\);.

  9. Σε πόσες μέρες θα καθαριστεί μια παραλία 18,75 km αν καθαρίζονται 6,25 km την ημέρα;.

  10. Αν 6 διαιρεθεί με τον \(x\) και δώσει 2, ποιος είναι ο \(x\);.

1.7 Μορφή \(x : \alpha = \beta\)

Κανόνας:

Ο διαιρετέος ισούται με το γινόμενο του διαιρέτη επί το πηλίκο: \(x = \beta \cdot \alpha\).

1.7.1 Παραδείγματα

  1. Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα και πλήρωσε 5€. Πόσα είχε αρχικά; (\(x:2=5 \Rightarrow x=....\)).

  2. Ένας εργάτης πήρε προκαταβολή 180€, που ήταν το μισό της αμοιβής του. Πόση ήταν η συνολική αμοιβή; (\(x:2=180 \Rightarrow x=....\)).

  3. Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό \(\omega\) με το 5 και βρούμε 4, ποιος είναι ο αριθμός; (\(\omega:5=4 \Rightarrow ω=....\)).

  4. Το μισό ενός αριθμού είναι 3. Ποιος είναι ο αριθμός; (\(x:2=3\) x=….).

  5. Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό με το 7 και βρούμε 6, ποιος είναι ο αριθμός; (\(x:7=6 \Rightarrow x=....\)).

1.7.2 Προβλήματα προς Λύση

  1. Πόσα χρήματα είχε κάποιος αν το ένα τρίτο (\(\dfrac{1}{3}\)) αυτών είναι 60€;.

  2. Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό με το 10 και βρούμε 1,5, ποιος είναι ο αριθμός;.

  3. Ποιος αριθμός έχει μισό ίσο με 12;.

  4. Ένα δοχείο περιέχει λάδι. Αν βγάλουμε το \(\dfrac{1}{3}\) και είναι 720 kg, πόσο λάδι είχε;.

  5. Ποιος αριθμός αν διαιρεθεί με το 3 δίνει 9;.

  6. Αν \(\dfrac{x}{3} = 7\), ποιος είναι ο \(x\);.

  7. Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό με το 2 και βρούμε 100, ποιος είναι ο αριθμός;.

  8. Ποιος αριθμός αν διαιρεθεί με το 8 δίνει 7;.

  9. Αν το \(\dfrac{1}{4}\) των χρημάτων μας είναι 25€, πόσα έχουμε;.

  10. Ποιος αριθμός αν διαιρεθεί με το 5 δίνει 20;.

1.8 ….. συνδυασμός εξισώσεων

  1. Ένα βιβλιοπωλείο έχει 50 τετράδια. Αν πουλήσει ένα μέρος τους και του μείνουν 12, και στη συνέχεια μοιράσει τα υπόλοιπα σε 2 ράφια, πόσα τετράδια μπαίνουν σε κάθε ράφι;

Υπόδειξη:

Χρησιμοποιήστε το \(50 - x = 12\) και μετά το \(y = \dfrac{x}{2}\))

19 τετράδια ανά ράφι.

  1. Εκφώνηση

Ο Γιώργος έχει \(x\) ευρώ. Αν τα διπλασιάσει και μετά του δώσουν άλλα 5 ευρώ, θα έχει συνολικά 25 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε αρχικά;

Λύση

  1. Λύνουμε την εξίσωση: \(2x + 5 = 25\).

  2. Αφαιρούμε το 5: \(2x = 20\).

  3. Διαιρούμε με το 2: \(x = 10\).

  1. Εκφώνηση

Σε ένα πάρκινγκ υπάρχουν 40 θέσεις. Αν οι 12 είναι άδειες και οι υπόλοιπες γεμίσουν από αυτοκίνητα που καταλαμβάνουν από 2 θέσεις το καθένα, πόσα αυτοκίνητα υπάρχουν;

Λύση

  1. Βρίσκουμε τις κατειλημμένες θέσεις: \(40 - 12 = 28\).

  2. Λύνουμε το \(2x = 28\) για να βρούμε τον αριθμό των αυτοκινήτων: \(x = .........\).

  1. Η Μαρία σκέφτηκε έναν αριθμό, τον διαίρεσε με το 3 και μετά αφαίρεσε το 4, με αποτέλεσμα να βρει 6. Ποιος ήταν ο αριθμός;

Υπόδειξη:

\(\dfrac{x}{3} - 4 = 6\))

  1. Ένα κτήμα σχήματος ορθογωνίου έχει περίμετρο 100 μέτρα. Αν η μία πλευρά του είναι 20 μέτρα και οι άλλες τρεις είναι ίσες μεταξύ τους (έστω \(x\)), βρείτε το μήκος της πλευράς \(x\).

Υπόδειξη:

\(20 + 2x = 100\))

  1. Ένας έμπορος είχε 80 κιλά πορτοκάλια. Πούλησε ένα μέρος τους, μετά αγόρασε άλλα 10 κιλά και τώρα έχει 50 κιλά. Πόσα κιλά πούλησε;

  2. Αν διπλασιάσεις την ηλικία του Νίκου και αφαιρέσεις 3, παίρνεις 27. Πόσο χρονών είναι ο Νίκος;

  3. Σε έναν αγώνα δρόμου, ο Γιάννης έτρεξε \(x\) μέτρα, η Άννα έτρεξε τα διπλάσια (\(2x\)) και ο Κώστας 10 μέτρα λιγότερα από τον Γιάννη (\(x-10\)). Αν όλοι μαζί έτρεξαν 110 μέτρα, πόσα έτρεξε ο καθένας;

Υπόδειξη:

\(x + 2x + x - 10 = 110\))

  1. Ένα βαρέλι έχει 100 λίτρα νερό. Αν αφαιρέσουμε \(x\) λίτρα και μετά προσθέσουμε το μισό της ποσότητας που αφαιρέσαμε (\(\dfrac{x}{2}\)), στο βαρέλι μένουν 80 λίτρα. Πόσα λίτρα αφαιρέθηκαν;

Υπόδειξη:

Αφου αφαιρέσαμε χ και μετά προσθέσαμε τα μισά απο όσα αφαιρέσαμε είναι σαν αφαιρέσαμε μόνο τα \(\dfrac{x}{2}\)

40 λίτρα.

ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!